MAKALAH MATEMATIKA PELUANG

KAIDAH PENGGANDAAN

                Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara, dan jika kejadian tersebut diikuti oleh kejadian lain yang dapat terjadi dalam n cara, maka kedua kejadian tersebut terjadi dalam m.n cara.

FAKTORIAL    

Factorial merupakan penulisan singkat dari perkalian sederetan bilangan bulat positif terurut hingga 1. Factorial didefinisikan sebagai berikut:

1!= 1

2!= 2x1=2

3!=3x2x1=6

4!=4x3x2x1=24     dan seterusnya.

PERMUTASI

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

  
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda.

 Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis 

atau .

Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh soal

Nilai dari 7P₃ sama dengan …..

7P₃        

Contoh permutasi siklis : 

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

COMBINASI

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,  

Contoh : 
Diketahui himpunan  . 
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! 
Jawab : 
 
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2). 

 

Atau

6C₄= 15

Contoh lainnya

10C₃

PELUANG MATEMATIKA

Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. 

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

Pengertian Peluang Suatu Kejadian 

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

  

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

Kisaran Nilai Peluang Matematika

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k

Dan

  

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. 

Peluang Komplemen Suatu Kejadian 

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga : 
 
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P). 

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ). 

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

1.      Gabungan Dua Kejadian 

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :  

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B” 

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2.      Kejadian-kejadian Saling Lepas 

Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga  Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas. 

3.      Kejadian Bersyarat 

Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi.

 Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas. 

4. Teorema Bayes 

Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

CONTOH SOAL          

Peluang seorang istri menonton tv sendiri 0,7 peluang istri dan suami menonton bersama 0,4 tentukan peluang suami menonton tv sendiri jika istri telah menonton tv terlebih dahulu

Jawab:

Istri menonton sendiri P(A) = 0,7

Istri dan suami menonton bersama P(

P(